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「はじめての数理論理学」山田俊行著，森北出版．2018．に記載されている演習問題を Lean で解いてみた． — 「はじめての数理論理学」山田俊行著，森北出版．2018 — p.55 2-5 演習問題 import Mathlib.Tactic — 演習問題 2.1 奇数と平方 — 奇数の平方はみな奇数である． example : ∀ (n : ℤ), Odd (n) → Odd (n * n) := by intro n h — 任意の奇数 n をとってくる． have ⟨k, hk⟩ := h — n = 2 * k + 1 となる k をとってくる．…

千葉大学 萩原先生の 応用情報数理学特論　第０８回 の演習をLean4で写経してみる． 演習08-01 — 目標１．Nat as ℕ — 目標２．Int as ℤ — 目標３．/- -/ /- x + y 足し算 x – y 引き算（ ℤ ） x * y 掛け算 -x 加法の逆元（ ℤ ） #eval 計算結果の表示 -/ #eval 1 + 1 #eval 3 * 10 #eval (-2 : Int) #eval 1 – 2 –…

千葉大学 萩原先生の 応用情報数理学特論　第０７回 の演習をLean4で写経してみる． 演習07-01 — 目標１．Exists.elimに慣れる — 目標２．$ ← LEAN4では不要？ — 目標３．assume に複数の引数を与える $ ← LEAN4では intro variable (U : Type) variable (A B : U → Prop) — Exists.elim は ∃ を除去する規則 — 逆に Exists.intro は ∃ を導入する規則 example : (∃ x, A x ) → ∃ x, A x ∨ B x…

千葉大学 萩原先生の 応用情報数理学特論　第０６回 の演習をLean4で写経してみる． 演習06-01 — 目標１．(variable of type) → Prop — 目標２．Nat variable (U : Type) variable (u : U) variable (A : U → Prop) — A は U から Prop への関数なので A u は Prop である． #check A u — B は Prop から Prop への関数 variable (B : Prop → Prop)…

千葉大学 萩原先生の 応用情報数理学特論　第０５回 の演習をLean4で写経してみる． 演習05-01 — 目標１． def def mpPropDef (A B : Prop) : Prop := A → (A → B) → B — 命題が定義されている def mpProofDef (A B : Prop) : A → (A → B) → B := by intro (a : A) intro (f : A → B) exact f a…

Leanの演習問題をChatGPTに作ってもらい，それを解いてみる． ChatGPTへのプロンプトは以下 #命令書: あなたは、定理証明支援系のプログラミング言語Lean4のプログラマーです． 以下の制約条件に基づき，Lean4の証明問題を3つ出して下さい． #制約条件: ・数理論理の問題であること ・証明問題は example を用いること それでは証明問題を３つ出して下さい． このプロンプトで出てきた問題を解いてみたのが以下． — 論理積（AND）の交換法則を示す定理を証明してください。 example (P Q : Prop) : P ∧ Q ↔ Q ∧ P := Iff.intro (fun hPQ : P ∧ Q => And.intro hPQ.right hPQ.left) (fun hQP : Q ∧ P => And.intro hQP.right hQP.left) — 論理和（OR）の分配法則を示す定理を証明してください。 example (P Q R…

千葉大学 萩原先生の 応用情報数理学特論　第０４回 の演習をLean4で写経してみる． 演習04-01 — 目標1. Or.elim #print Or.elim variable (A B C: Prop) example (f : A → C) (g : B → C) : A ∨ B → C := fun (h : A ∨ B) => Or.elim h (fun (ha : A) => f ha) (fun (hb : B) => g…

数学系のためのLean勉強会の教材 Tutorial/Basic/Lecture4 を解いてみた． Basic/Lecture4.lean import Mathlib.Tactic /- # 単射と全射についての演習問題 このファイルでは、学部数学の集合論の演習問題でよくある、写像の単射と全射についての問題を通して、 `∀`や`∃`についてのより細かい扱いを学ぶ。また、`have`についても復習する。 -/ namespace Tutorial — 以下、`X` `Y` `Z`を集合とする。 variable {X Y Z : Type} /- ## 単射 写像`f : X → Y`が単射であることを`Injective f`で表す。 これは以下のように定義できる。 -/ def Injective (f : X → Y) : Prop := ∀ {x₁ x₂ : X}, f x₁ = f x₂…

数学系のためのLean勉強会の教材 Tutorial/Basic/Lecture3 を解いてみた． Basic/Lecture3.lean import Mathlib.Tactic.Linarith namespace Tutorial /- # 存在 命題`∃ x : X, P x`は`P x`を満たす`x : X`が存在することを表す。 -/ example (n : ℤ) : ∃ m : ℤ, n < m := by — 存在命題は`exists` tacticで証明できる exists n + 1 linarith example (n : ℤ) : ∃ m : ℤ, m < n…

数学系のためのLean勉強会の教材 Tutorial/Basic/Lecture2 を解いてみた． Basic/Lecture2.lean import Mathlib.Tactic.Linarith /- # mathlib mathlibは有志のコミュニテイーによって開発されている数学ライブラリである。 https://leanprover-community.github.io/ mathlibは現在も活発に発展しているライブラリであるが、既に基本的な数学の かなりの部分をカバーしている。 -/ /- # apply? 現在のゴールに適用可能なmathlibの定理(もしくは定義)を探すtactic -/ example [Group G] [Group H] (f : G →* H) (a b : G) : f (a * b) = f a * f b := by — ヒント: `apply?`を使う exact MonoidHom.map_mul f a b –…