Category: math

萩原先生から出題された課題（脳トレ）を解いてみた． import Mathlib.Tactic section variable (A : Prop) example : ¬ (A ↔ ¬ A) := by intro (h : A ↔ ¬ A) have h1 : A → ¬ A := h.mp have h2 : ¬ A → A := h.mpr have h3 : (A → ¬ A) → ¬ A := by intro…

千葉大学 萩原先生の 応用情報数理学特論　第１１回 の演習をLean4で写経してみる． 演習11-01 — 目標１．data.set — 目標２．関数と集合 — 目標３．型上のinjectiveとsurjective import Mathlib.Tactic — Lean4だとだいたいこれで色々使えるようになる（適当．．．） variable {X Y : Type} (S : Set X) (P : X → Prop) #check ∀ x ∈ S, P x #check ∃ x ∈ S, P x example (h : ∀ x ∈ S, P x) (x : X)…

千葉大学 萩原先生の 応用情報数理学特論　第１０回 の演習をLean4で写経してみる． 演習10-01 /- 目標１． ℕ inductive zero : ℕ succ : ℕ → ℕ -/ import Mathlib.Tactic — Lean4だとだいたいこれで色々使えるようになる（適当．．．） #print Nat — これでNatの定義が見れる． #check Nat.zero — Lean では 0 も自然数 #check Nat.succ — これでNat.succの型が見れる． open Nat #eval zero — 0 #eval succ zero — 1 … 0の次の数 #eval succ (succ zero) –…

千葉大学 萩原先生の 応用情報数理学特論　第０９回 の演習をLean4で写経してみる． 演習09-01 /- 目標１． set set ⊆ \subseteq ∈ \in ∪ \u ∩ \i \ \ ∅ \empty -/ import Mathlib.Tactic — 目標２． False.elim (h : x ∈ (∅ : set U)) variable {U : Type} — このあと引数が柔軟にとれるように，中括弧にしておく variable (A B : Set U) — U を母集合とする部分集合 A, B variable (x :…

「はじめての数理論理学」山田俊行著，森北出版．2018．に記載されている演習問題を Lean で解いてみた． — 「はじめての数理論理学」山田俊行著，森北出版．2018 — p.55 2-5 演習問題 import Mathlib.Tactic — 演習問題 2.1 奇数と平方 — 奇数の平方はみな奇数である． example : ∀ (n : ℤ), Odd (n) → Odd (n * n) := by intro n h — 任意の奇数 n をとってくる． have ⟨k, hk⟩ := h — n = 2 * k + 1 となる k をとってくる．…

千葉大学 萩原先生の 応用情報数理学特論　第０８回 の演習をLean4で写経してみる． 演習08-01 — 目標１．Nat as ℕ — 目標２．Int as ℤ — 目標３．/- -/ /- x + y 足し算 x – y 引き算（ ℤ ） x * y 掛け算 -x 加法の逆元（ ℤ ） #eval 計算結果の表示 -/ #eval 1 + 1 #eval 3 * 10 #eval (-2 : Int) #eval 1 – 2 –…

千葉大学 萩原先生の 応用情報数理学特論　第０７回 の演習をLean4で写経してみる． 演習07-01 — 目標１．Exists.elimに慣れる — 目標２．$ ← LEAN4では不要？ — 目標３．assume に複数の引数を与える $ ← LEAN4では intro variable (U : Type) variable (A B : U → Prop) — Exists.elim は ∃ を除去する規則 — 逆に Exists.intro は ∃ を導入する規則 example : (∃ x, A x ) → ∃ x, A x ∨ B x…

千葉大学 萩原先生の 応用情報数理学特論　第０６回 の演習をLean4で写経してみる． 演習06-01 — 目標１．(variable of type) → Prop — 目標２．Nat variable (U : Type) variable (u : U) variable (A : U → Prop) — A は U から Prop への関数なので A u は Prop である． #check A u — B は Prop から Prop への関数 variable (B : Prop → Prop)…

千葉大学 萩原先生の 応用情報数理学特論　第０５回 の演習をLean4で写経してみる． 演習05-01 — 目標１． def def mpPropDef (A B : Prop) : Prop := A → (A → B) → B — 命題が定義されている def mpProofDef (A B : Prop) : A → (A → B) → B := by intro (a : A) intro (f : A → B) exact f a…

Leanの演習問題をChatGPTに作ってもらい，それを解いてみる． ChatGPTへのプロンプトは以下 #命令書: あなたは、定理証明支援系のプログラミング言語Lean4のプログラマーです． 以下の制約条件に基づき，Lean4の証明問題を3つ出して下さい． #制約条件: ・数理論理の問題であること ・証明問題は example を用いること それでは証明問題を３つ出して下さい． このプロンプトで出てきた問題を解いてみたのが以下． — 論理積（AND）の交換法則を示す定理を証明してください。 example (P Q : Prop) : P ∧ Q ↔ Q ∧ P := Iff.intro (fun hPQ : P ∧ Q => And.intro hPQ.right hPQ.left) (fun hQP : Q ∧ P => And.intro hQP.right hQP.left) — 論理和（OR）の分配法則を示す定理を証明してください。 example (P Q R…