計算基底から他の基底を導出する．
アダマール基底 $|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \cr 1 \end{pmatrix}$ と $|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \cr -1 \end{pmatrix}$ は計算基底 $|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \cr 0 \end{pmatrix}$ と $|1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \cr 1 \end{pmatrix}$ それぞれにアダマールゲートを作用させることで導出できる．
$$
H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
1 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \cr
0
\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 \cr
1
\end{pmatrix} = |+\rangle
$$
$$
H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
1 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 \cr
1
\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 \cr
-1
\end{pmatrix} = |-\rangle
$$
$|\uparrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \cr i \end{pmatrix}$ と $|\downarrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i \cr 1 \end{pmatrix}$ は計算基底 $|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \cr 0 \end{pmatrix}$ と $|1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \cr 1 \end{pmatrix}$ それぞれにアダマールゲートと位相ゲートを作用させることで導出できる．
$$
\begin{aligned}
SH|0\rangle &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & i \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \cr 0 \end{pmatrix} \cr
&= \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & i \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \cr 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \cr i \end{pmatrix} = |\uparrow\rangle,
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
SH|1\rangle &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & i \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \cr 1 \end{pmatrix} \cr
&= \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & i \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \cr -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \cr -i \end{pmatrix}.
\end{aligned}
$$
$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \cr -i \end{pmatrix}$ は $|\downarrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i \cr 1 \end{pmatrix}$ と異なる表現となったが，これらはグローバル位相が異なるだけで，同じ量子状態を表している．以下ではそれを示す．
グローバル位相が異なるだけで同じ量子状態を指すならば，
$$
e^{i\theta} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \cr -i \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i \cr 1 \end{pmatrix}
$$
となるような $\theta$ が存在する．$\theta = \frac{\pi}{2}$ とすると，$e^{i\theta} = i$ となり，
$$
i \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \cr -i \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i \cr 1 \end{pmatrix}
$$
となる．よって，$|\downarrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i \cr 1 \end{pmatrix}$ と $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \cr -i \end{pmatrix}$ はグローバル位相が異なるだけで同じ量子状態を表している．
パウリ行列間の関係
$H \sigma_x H = \sigma_z$ を示す．
アダマールゲート $H$ の行列表現
$$
H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
1 & -1
\end{pmatrix}
$$
とパウリ演算子 $\sigma_x$ の行列表現
$$
\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \cr
1 & 0 \end{pmatrix}
$$
より，
$$
\begin{aligned}
H \sigma_x H &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
1 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 1 \cr
1 & 0
\end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
1 & -1
\end{pmatrix} \cr
&= \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
1 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & -1 \cr
1 & 1
\end{pmatrix} \cr
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 \cr
0 & -1
\end{pmatrix} = \sigma_z
\end{aligned}
$$
が成り立つ．
$H \sigma_y H = -\sigma_y$ を示す．
同様にパウリ演算子 $\sigma_y$ の行列表現
$$
\sigma_y = \begin{pmatrix}
0 & -i \cr
i & 0
\end{pmatrix}
$$
より，
$$
\begin{aligned}
H \sigma_y H &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
1 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & -i \cr
i & 0
\end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
1 & -1
\end{pmatrix} \cr
&= \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
1 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-i & i \cr
i & i
\end{pmatrix} \cr
&= \begin{pmatrix}
0 & i \cr
-i & 0
\end{pmatrix} = -\sigma_y
\end{aligned}
$$
が成り立つ．
$H \sigma_z H = \sigma_x$ を示す．
パウリ演算子 $\sigma_z$ の行列表現
$$
\sigma_z = \begin{pmatrix}
1 & 0 \cr
0 & -1
\end{pmatrix}
$$
より，
$$
\begin{aligned}
H \sigma_z H &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
1 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 0 \cr
0 & -1
\end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
1 & -1
\end{pmatrix} \cr
&= \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
1 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 1 \cr
-1 & 1
\end{pmatrix} \cr
&= \begin{pmatrix}
0 & 1 \cr
1 & 0
\end{pmatrix} = \sigma_x
\end{aligned}
$$
が成り立つ．
CNOTゲートの等価性
上図の回路の等価性を示す．なお，$\text{CNOT}_{c,t}$ は制御ビット $c$ と目標ビット $t$ に対するCNOTゲートを表す．
$$
|q_2\rangle \otimes |q_1\rangle \otimes |q_0\rangle
\xrightarrow{\text{CNOT}_{1,2}} |q_2\rangle \oplus |q_1\rangle \otimes |q_1\rangle \otimes |q_0\rangle
$$
$$
\xrightarrow{\text{CNOT}_{0,1}}
|q_2\rangle \oplus |q_1\rangle \otimes |q_1\rangle \oplus |q_0\rangle \otimes |q_0\rangle
$$
$$
\xrightarrow{\text{CNOT}_{1,2}}
|q_2\rangle \oplus |2q_1 \oplus q_0\rangle \otimes |q_1\rangle \oplus |q_0\rangle \otimes |q_0\rangle
$$
$$
\xrightarrow{\text{CNOT}_{0,1}}
|q_2\rangle \oplus |2q_1 \oplus |q_0\rangle \otimes |q_1\rangle \oplus |2q_0\rangle \otimes |q_0\rangle
$$
$$
= |q_2\rangle \oplus |q_0\rangle \otimes |q_1\rangle \otimes |q_0\rangle .
$$
以上より，一番右の図の回路のように隣接する量子ビット間のCNOTゲートのみを用いて，2つ隣の量子ビットに対するCNOTゲートが実現できることを示した．
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